Het is andersom: je spreekt van 'significantie' als een $p$-waarde lager is dan .05, niet als hij hoger is dan .05!
Bovendien is de steekproefomvang 168, niet 110.
Je denkfout is dat je er vanuitgaat datde kans om een extremere correlatie te vinden, het dubbele is van die correlatie. Het is het dubbele van de kans op een hogere correlatie voor een positieve correlatie of de kans op een lagere correlatie voor een negatieve correlatie.
Het is handiger om er de steekproevenverdeling van de correlatie bij te pakken waar je bij nulhypothesetoetsing onder werkt. Dit is dus de steekproevenverdeling die is gebaseerd op de aanname dat er geen verband bestaat in de populatie, oftewel, wat de correlatie in de populatie gelijk is aan nul ($r = 0$). Die kun je in R op de volgende manier bekijken:
### Voor de verdeling van de correlatie
require('SuppDists');
### Voor het plotje
require('ggplot2');
### Dataset maken met correlaties en densities
dat <- data.frame(r=seq(-1, 1, .01));
dat$density <- dPearson(dat$r, rho=0, N=168);
### Plotje maken
ggplot(dat, aes(x=r, y=density)) +
theme_bw() +
geom_line(size=2) +
geom_segment(aes(x=.076, xend=.076,
y=0, yend=dPearson(.076, N=168)),
size=2, color='blue');
Die steekproevenverdeling ziet er als volgt uit:
De correlatie staat hier op de x-as. Bij .076 staat een blauw lijn: dit is de correlatie die we hebben gevonden.
Op de y-as staat de dichtheid van de verdeling. De oppervlakte van de verdeling is de kans op een gegeven uitkomst. We kunnen de oppervlakte rechts van onze gevonden correlatie van .076 lichtblauw maken:
ggplot(dat, aes(x=r, y=density)) +
theme_bw() +
geom_line(size=2) +
geom_segment(aes(x=.076, xend=.076,
y=0, yend=dPearson(.076, N=168)),
size=2, color='blue') +
geom_ribbon(data=dat[dat$r>.076,], aes(ymin=0, ymax=density),
fill='blue', alpha=.25);
En dan krijgen we:
Die lichtblauwe oppervlakte is de helft van de $p$-waarde die bij onze $r$ (onze correlatie) hoort. Deze oppervlakte kunnen we rechtstreeks opvragen in R met de functie pPearson. Standaard geeft die functie de oppervlakte links van de waarde die we specificeren, dus we moeten even aangeven dat we de oppervlakte aan de bovenkant willen hebben met lower.tail=FALSE:
pPearson(.076, N=168, lower.tail = FALSE);
(Of we trekken de uitkomst van 1 af, dat komt op hetzelfde neer.)
We krijgen dan:
[1] 0.1637106
Als we dit verdubbelen krijgen we de $p$-waarde die bij onze correlatie hoort:
> 2 * pPearson(.076, N=168, lower.tail = FALSE);
[1] 0.3274211
Deze is praktisch identiek aan de $p$-waarde die wordt verkregen door SPSS en R als ze die berekenen via conversie naar de $t$-verdeling (die is gelijk aan 0.3262). Het kleine verschil is irrelevant (zie http://oupsy.nl/help/2676/hoe-nauwkeurig-moet-je-zijn).
De oppervlakte die overeenkomt met deze $p$-waarde is dit blauwe gebied:
ggplot(dat, aes(x=r, y=density)) +
theme_bw() +
geom_line(size=2) +
geom_segment(aes(x=.076, xend=.076,
y=0, yend=dPearson(.076, N=168)),
size=2, color='blue') +
geom_ribbon(data=dat[dat$r>= .076,], aes(ymin=0, ymax=density),
fill='blue', alpha=.25) +
geom_ribbon(data=dat[dat$r<= -.076,], aes(ymin=0, ymax=density),
fill='blue', alpha=.25);
Nogmaals: in deze figuur staat de correlatie (r) op de x-as, en de dichtheid van de steekproevenverdeling (onder de nulhypothese, in dit geval) op de y-as!
