Is Vraag 22 Oefententamen 1 IDA d.d. 23/11/17 over betrouwbaarheidsinterval en puntschatting juist?

Question

De vraag luidt:

"22.1 Een onderzoekster vindt een 95% betrouwbaarheidsinterval voor het gemiddelde van [1.64; 2.92].

Is het, gegeven dat betrouwbaarheidsinterval, plausibel dat de betreffende eenheid in de populatie de waarde 2.14 heeft?

a Nee, dit is niet plausibel. 

b Ja, dit is plausibel."

En, het model antwoord is "22.1: b (studietaak 2.4, Betrouwbaarheidsintervallen)" 

Naar mijn oordeel zou het antwoord "a" moeten zijn. Dat de betreffende eenheid (= het gemiddelde) in de populatie precies de waarde 2,14 heeft is helemaal niet plausibel in de zin van geloofwaardig of aannemelijk. Een dergelijke precieze uitspraak over een populatiewaarde kun je op basis van een steekproef nooit doen, als is het maar omdat de geschatte waarde op meerdere cijfers achter de komma altijd van de populatiewaarde zal verschillen. Bovendien kan het betrouwbaarheidsinterval niet gebruikt worden om zo'n stelling te rechtvaardigen. Een 95% betrouwbaarheidsinterval geeft alleen maar aan dat als je de steekproef met deze steekproefgrootte en de schatting van het gemiddelde vaak herhaalt (zeg 1000 x) dat de populatiewaarde van het gemiddelde dan in 95% van de resulterende betrouwbaarheidsintervallen (dus in 950 van die intervallen) zal liggen (en in 50 gevallen daarbuiten). Het betrouwbaarheidsinterval kan echter niet gebruikt worden om aan te geven welke waarde de populatiewaarde binnen het betrouwbaarheidsinterval aanneemt, maar wel om een hypothese over de populatiewaarde te toetsen.

Wellicht zou de vraag als volgt moeten luiden: "Een onderzoekster wil de hypothese dat het gemiddelde in een populatie de waarde 2,14 heeft, toetsen. Zij vindt een 95% betrouwbaarheidsinterval voor haar schatting van het gemiddelde van [1.64; 2.92]. Wordt de hypothese van de onderzoekster op grond hiervan verworpen?" En het antwoord is dan, dat de hypothese dat het gemiddelde in een populatie de waarde 2,14 heeft, op grond van het gevonden betrouwbaarheidsinterval niet kan worden verworpen. 

Answer 1

Je redenering klopt bijna helemaal. Er zijn twee dingen niet goed.

Ten eerste is dit gegrond in hypothesetoetsing. Hypothesetoetsing vereist hypothesen, en in dit geval zou dat een theorie vereisen die voorspelt dat dat gemiddelde 2.14 zou zijn. Dergelijke exacte voorspellingen kunnen theorieen in de psychologie en onderwijswetenschappen niet doen, en hypothesetoetsing is in dit geval daarom geen bruikbaar kader.

Ten tweede kan 2.14 plausibel zijn, terwijl 2.13 en 2.15 ook plausibel zijn. Dat een waarde aannemelijk (i.e. plausibel) is, betekent niet dat er (enige, laat staan grote) zekerheid bestaat dat het gemiddelde die waarde ook daadwerkelijk heeft. Neem om dit te verduidelijken uitspraken over het weer. Stel je voor dat het plotseling betrekt. Als de vraag dan wordt gesteld "is het plausibel dat het nu gaat regenen", dan is het antwoord: "ja, dat zou consistent zijn met de evidentie". Je kunt zelfs verder gaan en zeggen: "In deze regio is bekend dat als het regent, er meestal tussen de 1.64 en 2.92 millimeter regen valt in een regenbui. Is het, gegeven die kennis, plausibel dat als het nu gaat regenen, er 2.14 millimeter regen valt?" Dat is dan plausibel (in tegenstelling tot dat er, als het gaat regenen, 0 of 10 millimeter regen valt).

Jouw redenering zou kloppen als de vraag had geluid:

Volgt het uit dit betrouwbaarheidsinterval dat de betreffende eenheid in de populatie de waarde 2.14 heeft?

Daar zit een uitdrukking van zekerheid in met betrekking tot die exacte waarde 2.14, en dan zou je terecht stellen dat de populatiewaarde niet exact die waarde heeft.