Vorm van steekproevenverdeling: toch niet altijd normaal verdeeld?

Question

Open Mens 13.5
We kunnen betrouwbaarheidsintervallen berekenen voor alle maten
die berekend kunnen worden op basis van een steekproef. Al deze maten komen namelijk uit een
steekproevenverdeling waarvan de verdelingsvorm, de normaalverdeling, en de standaardfout bekend zijn.

1. Is dit een fout in het boek?
De steekproevenverdeling voor de correlatie kan toch ook heel assymmetrisch zijn en dus géén normaalverdeling? Zie 20.5 'Er is ook een verschil tussen de steekproevenverdeling van de correlatie en de steekproevenverdelingen van de beschrijvingsmaten. (...). Daarom wordt de steekproevenverdeling asymmetrisch naarmate de populatiecorrelatie dichter in de buurt van −1 of 1 komt."

en later; 'Hoewel r2 een eigen steekproevenverdeling heeft' ....

2a. Even voor de duidelijkheid: met een normaalverdeling wordt toch een verdeling bedoeld waarvoor geldt dat het gemiddelde nul is en een bepaalde maat, bijvoorbeeld een gemiddelde, in 95% vd mogelijke steekproeven binnen ongeveer 1.96 sd van het gemiddelde ligt en dus niet persé de standaardnormale verdeling waarvoor dit precies geldt??

2b En toch wordt het BI voor het gemiddelde uitgerekend met behulp van de z-score die hoort bij 95%. Gaat het er bij de centrale limietstelling dan toch om dat de steekproevenverdeling van het gemiddeld verdeeld is volgens de standaardnormale verdeling? Er staat tenslotte ook ergens in de tekst na uitleg van de cl: nu is de vorm bekend en de spreiding en dat weet je eigenlijk alleen bij de standaardnormale verdeling toch?

3. Klopt dit volgende lijstje nu?
Steekproevenverdeling voor gemiddelden: z-verdeling, MITS is voldaan aan drie voorwaarden
a)

1.  n ≥ 30 
2. De steekproeven zijn onafhankelijke en identiek verdeelde willekeurige variabelen
3. De verdeling van de populatie heeft een eindige variantie.

Steekproevenverdeling voor correlatie en determinatiecoëfficiënt en bij ANOVA: géén normale verdeling maar Pearson's R, de eigen verdeling voor r2, maar vaak wordt de f-verdeling gebruikt en bij ANOVA ook de f-verdeling.      

Steekproevenverdelingen voor het verschil tussen gemiddelden
én steekproevenverdelingen voor het gemiddelde wanneer níet voldaan is aan de drie voorwaarden hebben de vorm van een t-verdeling, dus wel een normale verdeling, maar niet precies een standaardnormale verdeling, tenzij de groter zijn dan 100 n.

Answer 1

1. Dat is volgens mij inderdaad een foutje. Dat gaan we aanpassen.

2. De normale verdeling en de standaardnormale verdeling is precies dezelfde verdeling alleen bij de eerste staan er de gemiddelden uit de steekproef op de x-as en bij de tweede is het gemiddelde 0 en zijn alle scores uitgedrukt in het aantal SD of SE dat ze afwijken van het gemiddelde. De belangrijste kenmerk van deze verdelingen is dus dat het een symmetrische verdeling heeft met een top in het midden en waarbij geldt dat 95% van alle scores liggen tussen de =+/- 2 SD/SE (of 1.96 als je heel specifiek wilt zijn).

3. De steekproefverdeling van het gemiddelde kan een z-verdeling zijn, maar dat hoeft niet.

Comments

Ok bedankt!
V.w.b punt 3: dat is toch ook wat ik schreef, namelijk dat het een z-verdeling is MITS aan drie voorwaarden is voldaan? Of is er nog iets dat ik mis?

---

Ja maar die redenatie klopt niet, een z-verdeling is gewoon een gestandaardiseerde normaalverdeling. Er zijn voorwaarden en bepaalde omstandigheden die zorgen voor een normaal verdeling dan wel een z-verdeling, maar die voorwaarden maken niet van een normaalverdeling een z-verdeling. Het is hetzelfde boogje, alleen de x-as is anders.